第十一章 Euclid空间上的极限与连续

如果在 \(\mathbf{R}^n\) 内引入内积运算: \( (\vec{x}, \vec{y})= \sum_{i=1}^n x_i y_i \), 则称 \(\mathbf{R}^n\) 为 Euclid 空间.

内积性质:正定性,对称性,线性性.

Schwarz 不等式:

\[ \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i \leq \langle \vec{x}, \vec{x}\rangle\langle \vec{y}, \vec{y}\rangle = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 } \]

设 \( ||x|| = \sqrt{\langle x, x\rangle}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \). \(||x||\) 称为 \(\vec{x}\) 的范数/ 距离.

距离性质:正定性,对称性,三角不等式.

Euclid 空间内邻域定义(中心,半径).

首先我们定义 \(\{\vec{x}_k\}\) 为 \(\mathbf{R}\) 的一个点列.

一个点列不收敛则称其发散.

Euclid 空间内极限性质:唯一性,有界性,四则运算法则.

NOTE: 高维的两个点之间不存在大小关系,故无保序性与夹逼性.

设 \(S\) 为 \(\mathbf{R}^n\) 上点集, 其在 \(\mathbf{R}^n\) 上补集 \( \mathbf{R}^n \setminus S \) 记作 \(S^C\).

内点

存在邻域是 \(S\) 的子集. 显然内点必属于 \(S\); \(S\) 的内点全体称为内部, 记作 \(S^0\).

外点

\(S^C\) 的内点.

边界点

\(\forall O(x_0, \delta), \exists x_1 \in S, x_2 \in S^C\). 边界点不一定属于 \(S\); \(S\) 边界点的全体称为 \(S\) 的边界, 记作 \( \partial S\).

• 孤立点(边界点的特殊情况).

聚点

\( \forall O(\vec{x}, \delta) \) 都含有 \(S\) 中的无数个点. \(S\) 的聚点全体记为 \(S\prime\).

• \(\vec{x}\) 为 \(S\) 聚点的充要条件: \(\forall \{\vec{x}_k\}\), 满足 \(\vec{x}_k\in S, \vec{x}_k \ne \vec{x}, \lim_{n \to \infty} \vec{x}_k = \vec{x} \).

开集

\( \forall \vec{x} \in S, \vec{x} \in S^0\), 称 \(S\) 为开集.

闭集

\(\forall \vec{x} S\prime, \vec{x} \in S\), 称 \(S\) 为闭集.

闭包

\( S \cup S\prime \) 称为闭包, 记作 \(\bar{S}\).

推论: 邻域时开集; \(S\) 为开/闭集的充要条件为 \(S^C\) 为闭开集.

n 维开(闭)矩形;n 维开(闭)球

De Morgan 公式(对偶律):并之补即补之交;交之补即补之并.

推论:

1. 开集之并为开集;
2. 闭集之交为闭集;
3. 有限个开集之交为开集;
4. 有限个闭集之并为闭集.

注意定义域是开集; 要求 \(\vec{x}\) 可以以任意方式趋近; 多用于证伪.

累次极限

对于每个固定的 \( y\ne y_0\), \(\exists \lim_{x \to x_0} f(x.y) =\varphi(y) \), \(\exists \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y) \); 则称此极限为 \( f(x, y) \) 对点 \( ( x_0, y_0 ) \) 的先 x 后 y 极限.

重极限与累次极限关系(既非充分也非必要)

强条件下重极限与累次极限关系 (重极限存在; \( x\ne x_0 \) 时 \( \exists \lim_{y \to y_0} f(x, y) = \varphi(x) \) )

多元函数的连续性 (注意定义域是开集) => 多元连续函数

一元连续函数的和差积商与复合函数性质对多元连续函数仍适用.